Линейная функция может быть задана и при помощи таблицы. Покажем, что функция, определенная таблицей Функция f заданная на симметричном относительно начала координат множестве X, для которой выполняется условие, что для любого справедливо называется нечетной функцией. Примерами четных функций могут служить функции где и т.
- Из рисунка видно, что чем больше по абсолютному значению величина k, тем круче идет прямая линия.
- Любое коммерческое и другое использование кроме предварительного ознакомления запрещено.
- Следовательно, линейная функция есть функция монотонная и в силу этого она является обратимой.
- График функции называется параболой.
- Поэтому ограничимся рассмотрением только первой четверти.
Ее график расположен выше оси Ох (рис. 51). Если то значения функции отрицательны и ее график расположен ниже оси Ох (рис. 52). Если построить график функции для различных значений а, то мы увидим, что чем больше тем «круче» идут ветви графика (рис. 49). Нанесем на координатную плоскость все эти точки и соединим их плавной линией (рис. 46, а). Полученная кривая называется гиперболой.
Выясним теперь смысл коэффициентов k и b. Рассмотрим функции У них один и тот же коэффициент b, а коэффициент k имеет разные значения. Графики этих функций представлены на рис. Из рисунка видно, что чем больше по абсолютному значению величина k, тем круче идет прямая линия.
Неформальное определение
Предположим, что есть функция возрастающая. Тогда для справедливо, что из условия следует разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции. Следовательно, функция обратимая, так как она принимает каждое свое значение только один раз. Можно показать, что функция f, определенная на множестве X и с множеством значений У, является обратимой функцией тогда и только тогда, когда каждое свое значение она принимает только один раз. Функция f, определенная на множестве X и с множеством значений У, называется обратимой функцией, если обратное ей соответствие g также является функцией.
Других предельных точек эти множества не имеют. Функция вида где , — множества функций, называется оператором. Два числа образуют инверсию (беспорядок), если большее число стоит левее меньшего. Например, в перестановке (3,1,4,2) имеется три инверсии, т.к. 3 стоит левее 1 и 2, а 4 стоит левее 2. Перестановку, в которой число инверсий равно нулю, назовем правильной, например, (1,3,5,7) или (4,5,8) — правильные перестановки.
- Например, уравнение определяет неявную функцию.
- Людмила Фирмаль не оказывает и не предлагает никаких услуг, сайт zubrila.net носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой.
- Например, если вы вводите число в калькулятор, он выполняет операцию и выдаёт результат.
- Следовательно, есть период функции sin .
Бесконечно малые функции
В этой четверти при увеличении х значение у будет также увеличиваться (рис. 36). Числовой последовательностью называется бесконечное занумерованное множество действительных чисел Последовательностью называется также функция натурального аргумента (п — натуральное). График функции получается из расположенных на и над Ох ветвей предыдущего графика и отраженных относительно оси Ох отрицательных его ветвей. Если последний график сдвинем параллельно себе вправо на 2, то получим требуемый (рис. 5.17, в). График функции состоит из графика функции фондовой биржи и симметричного с ним относительно оси Оу графика функции (рис. 5.17, а). Достаточно знать точки пересечения графика функции с осью Ох.
Образ и прообраз (при отображении), значение в точке
Теперь мы имеем возможность дать это определение. При каждому значению х соответствуют два значения у, поэтому кривая симметрична относительно оси Ох. Так же можно убедиться в симметрии относительно оси Оу. Поэтому в рассуждениях можно ограничиться рассмотрением только первой четверти.
Если будем менять значение х, то будут получаться новые точки. Совокупность всех полученных точек и назовем графиком функции. Иначе говоря, графиком функции называется геометрическое место точек, абсциссы которых равны значению независимого переменного , а ординаты — соответствующему значению функции. Из аналитической геометрии мы знаем, что графиком этой функции (рис. 77) является равносторонняя гипербола, состоящая из двух ветвей. Совокупность всех действительных значений аргумента, при которых функция имеет действительные значения, называется областью существования функции.
Покажем, например, что линейная функция есть функция обратимая. Всякую линейную функцию можно записать формулой В зависимости от коэффициента k она будет или убывающей, или возрастающей функцией. Следовательно, линейная функция есть функция монотонная и в силу этого она является обратимой. Следовательно, мы доказали, что существует параллельныи перенос, определяемый вектором переводящий график функции в график функции т.е.
Функция возрастает, если при возрастании значения абсцисс возрастает значение ординат её точек. Эти точки можно отметить на плоскости и соединить плавной линией.График позволяет сразу увидеть, где функция возрастает, где убывает, есть ли максимумы или минимумы. В этом случае функция задаётся в виде таблицы, где указаны значения x и соответствующие им значения y. Ещё один способ понять функцию — представить её как устройство, которое «перерабатывает» входные данные (x) в выходные (y). Например, если вы вводите число в калькулятор, он выполняет операцию и выдаёт результат.
Пусть а—значение аргумента, b—соответствующее значение функции Тогда точка принадлежит графику функции Точка принадлежит графику функции g, обратной (рис. 57). Но точки симметричны относительно прямой (докажите это самостоятельно). Также у функции есть область определения (D(f) или Dx) и область значений (E(f) или Dy). Первая отображает всевозможные независимые переменные (х), в которых функция существует и имеет какое-то значение, а вторая — все значения (у). Задаётся функция в виде таблицы, в которой различным значениям аргумента сопоставлены значения функций.
Степенная функция с целым показателем
Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция. Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле. Для функций трёх и более аргументов такое графическое представление не применимо.
Линейная функция и функция y=k/x
Если функция инъективна, то существует и функция которая называется обратной к f функцией. Например, функция отрезок взаимно-однозначно отражает на отрезок поэтому для нее существует обратная функция, обозначаемая Если функция f устанавливает соответствие между множествами и , то говорят, что функция f имеет тип Например, имеет тип Функция имеет тип Различные графики имеют свой набор характеристик, поэтому, чтобы понять, как ведет себя конкретный график, нужно учитывать совокупность всех его свойств. Примером периодичных функций являются тригонометрические функции. Если функция убывает, а потом возрастает, то точка между такими промежутками называется точкой минимума.
Пределом функции при стремлении х к а называется число В, такое, что разность принимает значения сколь угодно малые при всех х, достаточно близких к а. Область существования данной функции составляют все действительные числа, а график ее состоит из двух полупрямых параллельных оси Ох (рис. 74). Как видно, функция в разобранном примере имеет действительные значения при любых действительных значениях х. Однако часты случаи, когда функция при некоторых значениях аргумента не имеет числовых значений или, как говорят, не существует. Пусть, например, функция задана при помощи формулы Чтобы получить задание для обратной функции, преобразуем формулу так, чтобы она давала значения х, соответствующие данным значениям у, т.е.
Определение функции
Такое называют точкой разрыва функции. Понятие непрерывности можно ввести равносильно на «языке Так же, как и при рассмотрении числовых последовательностей (см. с. 35), можно указать следующие основные виды неопределенностей Для бесконечно больших функций нетрудно сформулировать все аналоги понятий и утверждений, приведенных выше для бесконечно малых функций.
Область определения функции (D(y)) – это те аргументы, которые может приобретать функция. Иначе говоря, это все возможные абсциссы её точек. Зная свойства определённого вида функций, можно представить, как выглядит функция, как она себя ведет. Свойства помогают нам характеризовать функции. 📎 График функции — это множество точек на координатной плоскости, где каждая точка имеет координаты (x;y).
Бесконечно малым функциям противопоставляются бесконечно большие функции. Функция имеет предел А при , тогда и только тогда, когда функция — А является б.м.ф. При , а функция ограничена в некоторой окрестности числа а, то произведение является б. Изобразим в круге радиуса 1 (см. рис. 11) угол хорду АВ, касательную АС к окружности в точке А и высоту BD треугольника Длина дуги АВ в радианах равна t.